Question

如圖所示，銳角α和鈍角β的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn)，角α的終邊與射線y=x（x≥0）重合，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為

3

5

．
（1）求sin（β-α）；
（2）D為OB邊上的一點(diǎn)，且AD=

37

5

，求△AOD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出相應(yīng)的三角函數(shù)值，利用兩角和與差的正弦公式，即可求出sin（β-α）的值；
（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由已知A（

2

2

，

2

2

）．B（-

4

5

，

3

5

），
即cosα=sinα=

2

2

，cosβ=-

4

5

，sinβ=

3

5

，
則sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=

3

5

×

2

2

-(-

4

5

)×

2

2

=

7 2

10

；
（2）∵AD=

37

5

，AO=1，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-

2

10

；
∴由余弦定理得AD²=OA²+OD²-2OA•0Dcos（β-α），
即OD²+

2

5

OD-

12

25

=0，
解得OD=

2 2

5

或OD=-

3 2

5

（舍去），
則△AOD的面積為

1

2

OA•ODsin(β-α)=

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及三角形的面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．