Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足a₁=2，2a_n=1+a_n•a_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）．
（Ⅰ）求證數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=b_nb_n+1，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2a_n=1+a_n•a_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）得

1

bn+1

-

1

bn

=1（n∈N^*），即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用裂項相消法求得數(shù)列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵b_n=a_n-1∴a_n=b_n+1，
又∵2a_n=1+a_n•a_n+1，
∴2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
化簡得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0，∴

1

bn+1

-

1

bn

=1（n∈N^*），
又

1

b1

=

1

a1-1

=

1

2-1

=1，
∴數(shù)列{

1

bn

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，∴b_n=

1

n

，
∴a_n=

1

n

+1=

n+1

n

；
（Ⅱ）由題意得c_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式及裂項法求數(shù)列和知識，考查學(xué)生的運算求解能力，屬中檔題．