橢圓的離心率為,且過點直線與橢圓M交于A、C兩點,直線與橢圓M交于B、D兩點,四邊形ABCD是平行四邊形
(1)求橢圓M的方程;
(2)求證:平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于原點O;
(3)若平行四邊形ABCD為菱形,求菱形ABCD的面積的最小值
(1);(2)詳見解析;(3)最小值為
解析試題分析:(1)依題意有,再加上,解此方程組即可得的值,從而得橢圓 的方程(2)由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以ABCD的對角線AC和BD的中點重合
利用(1)所得橢圓方程,聯(lián)立方程組消去得:,顯然點A、C的橫坐標是這個方程的兩個根,由此可得線段的中點為 同理可得線段的中點為,由于中點重合,所以,解得:或(舍)這說明和都過原點即相交于原點(3)由于對角線過原點且該四邊形為菱形,所以其面積為由方程組易得點A的坐標(用表示),從而得(用表示);同理可得(由于,故仍可用表示)這樣就可將表示為的函數,從而求得其最小值
試題解析:(1)依題意有,又因為,所以得
故橢圓的方程為 3分
(2)依題意,點滿足
所以是方程的兩個根
得
所以線段的中點為
同理,所以線段的中點為 5分
因為四邊形是平行四邊形,所以
解得,或(舍)
即平行四邊形的對角線和相交于原點 7分
(3)點滿足
所以是方程的兩個根,即
故
同理, 9分
又因為,所以,其中
從而菱形的面積
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橢圓C: +=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明2m-k為定值.
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已知橢圓M:=1(a>b>0)的短半軸長b=1,且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6+4.
(1)求橢圓M的方程;
(2)設直線l:x=my+t與橢圓M交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經過橢圓的右頂點C,求t的值.
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已知橢圓:的離心率,原點到過點,的直線的距離是.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓上一動點關于直線的對稱點為,求 的取值范圍;
(3)如果直線交橢圓于不同的兩點,,且,都在以為圓心的圓上,求的值.
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已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且過點P(4,-).
(1)求雙曲線的方程.
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.
(3)求△F1MF2的面積.
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已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(一3,0),一條漸近線的方程是
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若以k(k≠0)為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M, N,且線段MN的
垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍。
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過橢圓Γ:=1(a>b>0)右焦點F2的直線交橢圓于A,B兩點,F1為其左焦點,已知△AF1B的周長為8,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個交點P,Q,且⊥?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請說明理由.
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設橢圓的右焦點為,直線與軸交于點,若(其中為坐標原點).
(1)求橢圓的方程;
(2)設是橢圓上的任意一點,為圓的任意一條直徑(、為直徑的兩個端點),求的最大值.
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在直角坐標系xOy中,中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓C上的點(2,1)到兩焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A,B兩點,其中點A在x軸下方,且=3.求過O,A,B三點的圓的方程.
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