已知函數(shù) 
（I）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（II）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值；
（Ⅲ）試證明： 

（Ⅰ）在區(qū)間上是減函數(shù)；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)即得；（Ⅱ）將分離參數(shù)得：在上恒成立，取，則，接下來就利用導(dǎo)數(shù)求的最小值  注意到題中要求k為整數(shù)，說明只需找出這個最小值所在的整數(shù)區(qū)間，而不用求出這個最小值
（Ⅲ）注意用前面的結(jié)論 由（Ⅱ）可得k的最大值為3，取k=3得：，
待證不等式等價于：
 
再對照，顯然應(yīng)考慮將此不等式變形：
，
再令，
這樣依次取再將所得不等式相加即得  
試題解析：（Ⅰ）由題        2分
故在區(qū)間上是減函數(shù);    3分
（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，即在上恒成立，取，則，        5分
再取則
故在上單調(diào)遞增，
而，      7分
故在上存在唯一實(shí)數(shù)根，
故時，時，
故故     8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，      10分
又

                 12分

即：          14分
考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等式的證明

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）求的極值點(diǎn)；
（2）對任意的，記在上的最小值為，求的最小值.

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(本小題13分)己知函數(shù)。
（1）試探究函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；
（2）若的圖象與軸交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為, 求證：。

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已知函數(shù)，.若函數(shù)依次在處取到極值.
（1）求的取值范圍；
（2）若，求的值.

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已知函數(shù).
(Ⅰ)求在處的切線方程；
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若，求證：.

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已知函數(shù)f(x)＝aex，g(x)＝lnx－lna，其中a為常數(shù)， e＝2.718…，且函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的圖像在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．
(1)求常數(shù)a的值；
(2)若存在x使不等式>成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)對于函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x0，我們把|f(x0)－g(x0)|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

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已知函數(shù)在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若時，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)b，使得方程在區(qū)間上恰有兩個相異實(shí)數(shù)根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，在處取得極值，且．
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)是曲線上的任意一點(diǎn)．當(dāng)時，求直線OM斜率的最小值，據(jù)此判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

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