Question

【題目】給定橢圓：，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”，若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上一個端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作橢圓的“伴隨圓”的動弦，過點(diǎn)、分別作“伴隨圓”的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)的軌跡是直線，并寫出該直線的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓的“伴隨圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線、，試判斷直線、是否垂直？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）見解析；

（3）見解析.

【解析】

（1）由題意可得，，則，從而得到橢圓C的方程；

（2）根據(jù)題意，求得，分直線的斜率存在與不存在兩種情況，將斜率存在時求得的直線，對斜率不存在時求得的點(diǎn)P的坐標(biāo)進(jìn)行檢驗，最后求得結(jié)果.

（3）討論當(dāng)P在直線上時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消去，得到關(guān)于的方程，運(yùn)用判別式為0，化簡整理，得到關(guān)于的方程，求出連根之積，判斷是否為，即可判斷垂直.

（1）依題意得：，所以，

所以橢圓方程為：；

（2）由題意可得伴隨圓的方程為，

點(diǎn)為，所以，

當(dāng)過點(diǎn)P的直線斜率不存在時，則，

可求得，此時，

當(dāng)過點(diǎn)P的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，

設(shè)，，

則經(jīng)過各自的切線方程為：，

把代入，解得，

消，得到，

當(dāng)不存在時，也滿足方程，

所以點(diǎn)的軌跡是一條直線，且方程為；

（3）當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為：，此時經(jīng)過點(diǎn)或，

則直線的方程為：，經(jīng)檢驗，滿足垂直關(guān)系；

當(dāng)斜率都存在時，設(shè)點(diǎn)，

因為點(diǎn)P在伴隨圓上，所以有，

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線方程為：，

聯(lián)立橢圓方程，

，消化簡得，

因為相切，所以，即：，

又因為，

所以，所以，

所以直線，

從而得證.