Question

【題目】已知拋物線，為其焦點(diǎn)，橢圓，，為其左右焦點(diǎn)，離心率，過作軸的平行線交橢圓于兩點(diǎn)，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過拋物線上一點(diǎn)作切線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中垂線交軸為，，的面積分別記為，，若，且點(diǎn)在第一象限．求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) . (2)

【解析】

（1）由題設(shè)可知，又，把均用表示，并把點(diǎn)代入標(biāo)圓方程，求得；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾可意義求得直線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得中垂線方程，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式，即可求得點(diǎn)坐標(biāo).

（1）不妨設(shè)在第一象限，

由題可知，，

又，，

可得，橢圓的方程為.

（2）設(shè)則切線的方程為

代入橢圓方程得：，

設(shè)，

則，，

的方程為，

即，

令得，

在直線方程中令得，

，，

，，

，.

化簡(jiǎn)得，

（舍去）的坐標(biāo)為.

，

，

因?yàn)?/span>，故此解符合題意．