Question

【題目】如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，．

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)通過(guò)面面垂直的判定轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直從而證明;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量計(jì)算即可.

證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，

∵，∴， ，

∵平面，平面平面，

平面平面，

∴平面，

∵平面，∴，

又，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵是等邊三角形，∴，

∵平面，平面平面，平面平面，

∴平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

解：（2）由（1）得平面，∴，

又，

分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

，

則，取，得，

設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，

則．

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．