【題目】已知雙曲線具有性質(zhì):若、是雙曲線左、右頂點(diǎn),為雙曲線上一點(diǎn),且在第一象限.記直線,的斜率分別為,,那么之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值.

(1)試對(duì)橢圓,類比寫出類似的性質(zhì)(不改變?cè)忻}的字母次序),并加以證明.

(2)若橢圓的左焦點(diǎn),右準(zhǔn)線為,在(1)的條件下,當(dāng)取得最小值時(shí),求的垂心軸的距離.

【答案】(1)見解析(2) .

【解析】

1)根據(jù)類比對(duì)應(yīng)得橢圓性質(zhì),再根據(jù)斜率公式證結(jié)論,(2)先求得橢圓方程,再根據(jù)基本不等式確定最值取法,即得直線方程,與橢圓方程聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)直線交點(diǎn)得垂心坐標(biāo),即得結(jié)果.

(1)若、是橢圓左、右頂點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),且在第一象限.記直線,的斜率分別為,,那么之積是與點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的定值,即;

證明如下:設(shè)

(2)因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn),右準(zhǔn)線為,

所以,橢圓

由(1)知,所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“

此時(shí)直線

與橢圓聯(lián)立得

可設(shè)垂心,

,故

的垂心軸的距離為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求圓心的極坐標(biāo);

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2)如果招聘員繼續(xù)告訴你,員工年收入的變化范圍是從3萬(wàn)到200萬(wàn),這個(gè)信息是否足以使你作出自己是否受聘的決定?為什么?

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