Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓（）的左、右焦點分別為，點在橢圓上， ， ， 的面積為.

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；

（Ⅱ）是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓

有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由題設(shè)知其中

由,結(jié)合條件的面積為，可求的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得的值，從而確定橢圓的標準方程；

（2）假設(shè)存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點為由圓的對稱性可知，利用在圓上及確定交點的坐標，進而得到圓的方程.

解：（1）設(shè)，其中，

由得

從而故.

從而，由得，因此.

所以，故

因此，所求橢圓的標準方程為：

（2）如圖，設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交， 是兩個交點， ， ,是圓的切線，且 由圓和橢圓的對稱性，易知

，

由（1）知，所以，再由 得，由橢圓方程得，即，解得或.

當時， 重合，此時題設(shè)要求的圓不存在.

當時，過分別與,垂直的直線的交點即為圓心，設(shè)

由得而故

圓的半徑

綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：