Question

【題目】己知函數(shù) (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))， ．

(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)，.已知直線是曲線的切線，且函數(shù)上是增函數(shù)．

(i)求實(shí)數(shù)的值；

(ii)求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）（1）；（2）.

【解析】試題分析：(I)求導(dǎo)得，討論和即可；

(II) (i)由相切得，解方程即可；(ii)先構(gòu)造來討論和的大小，得，求導(dǎo)，得. 由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知： 在， 上恒成立，分兩段討論即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵，

∴，

①當(dāng)時(shí)，

在時(shí)， ，在時(shí)， ，

故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，

在時(shí)， ，在時(shí)， ，

故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

（Ⅱ）（1）對求導(dǎo)，得，

設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則

解得，∴；

（2）記函數(shù) ， ，

求導(dǎo)，得，

當(dāng)時(shí)， 恒成立，

當(dāng)時(shí)， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．

又， ，

曲線在[1，2]上連續(xù)不間斷，

∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知，唯一的∈（1，2），使．

∴當(dāng)時(shí)， ＞0，當(dāng)時(shí)， ＜0．

∴當(dāng)時(shí)， =

求導(dǎo)，得

由函數(shù)在上是增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知：

在， 上恒成立．

①當(dāng)時(shí)， ≥0在上恒成立，

即在上恒成立，

記， ，則， ，

當(dāng) 變化時(shí)， ， 變化情況列表如下：

		3
		0
		極小值

∴min= 極小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，

綜合①②知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)．

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．