【題目】如圖,橢圓的離心率為,頂點為,且

(1)求橢圓的方程;

(2)是橢圓上除頂點外的任意點,直線軸于點,直線于點.設的斜率為 的斜率為,試問是否為定值?并說明理由.

【答案】(1)(2)見解析

【解析】試題分析:(1)因為,所以,又,所以,即可求解的值,得出橢圓的方程;

(2)由題意可知直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立方程組,求得點的坐標,進而得到點的坐標,在根據(jù)直線的方程與聯(lián)立,得到點的坐標,即可表示的斜率,得出結(jié)論.

試題解析:(1)因為,所以,

由題意及圖可得,

所以

,所以,所以

所以

所以橢圓的方程為:

(2)證明:由題意可知, , ,

因為的斜率為,所以直線的方程為

其中,所以,所以

則直線的方程為

,則,即

直線的方程為,

解得,所以

所以的斜率

所以(定值)

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