已知函數(shù)
.已知函數(shù)
有兩個(gè)零點(diǎn)
,且
.
(1)求
的取值范圍;
(2)證明
隨著
的減小而增大;
(3)證明
隨著
的減小而增大.
(1)
的取值范圍是
;(2)詳見試題分析;(3)詳見試題分析.
試題分析:(1)先求函數(shù)
的導(dǎo)數(shù),再分
和
討論
的單調(diào)性,將“函數(shù)
有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下條件同時(shí)成立:“1°
;2°存在
,滿足
;3°存在
,滿足
”,解相應(yīng)的不等式即可求得
的取值范圍;(2)由
分離出參數(shù)
:
.利用導(dǎo)數(shù)討論
的單調(diào)性即可得:
,從而
;類似可得
.又由
,得
,最終證得
隨著
的減小而增大;(3)由
,
,可得
,
,作差得
.設(shè)
,則
,且
解得
,
,可求得
,構(gòu)造函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)來證明
隨著
的減小而增大.
(1)由
,可得
.下面分兩種情況討論:
(1)
時(shí),
在
上恒成立,可得
在
上單調(diào)遞增,不合題意.
(2)
時(shí),由
,得
.當(dāng)
變化時(shí),
,
的變化情況如下表:
這時(shí),
的單調(diào)遞增區(qū)間是
;單調(diào)遞減區(qū)間是
A.
于是,“函數(shù)
有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于如下條件同時(shí)成立:
1°
;2°存在
,滿足
;3°存在
,滿足
.由
,即
,解得
,而此時(shí),取
,滿足
,且
;取
,滿足
,且
.∴
的取值范圍是
.
(2)由
,有
.設(shè)
,由
,知
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減. 并且,當(dāng)
時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
由已知,
滿足
,
. 由
,及
的單調(diào)性,可得
,
.對(duì)于任意的
,設(shè)
,
,其中
,其中
.∵
在
上單調(diào)遞增,故由
,即
,可得
;類似可得
.又由
,得
.∴
隨著
的減小而增大.
(3)由
,
,可得
,
,故
.設(shè)
,則
,且
解得
,
.
∴
. ①
令
,
,則
.令
,得
.當(dāng)
時(shí),
.因此,
在
上單調(diào)遞增,故對(duì)于任意的
,
,由此可得
,故
在
上單調(diào)遞增,因此,由①可得
隨著
的增大而增大,而由(2),
隨著
的減小而增大,∴
隨著
的減小而增大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
.
(1)若
是函數(shù)
的極值點(diǎn),求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)若函數(shù)
在
上為單調(diào)增函數(shù),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
.
(1)當(dāng)
(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求
的最小值;
(2)討論函數(shù)
零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若對(duì)任意
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若
,求證:函數(shù)
在(1,+∞)上是增函數(shù);
(2)當(dāng)
時(shí),求函數(shù)
在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;
(3)若存在
[l,e],使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
任何一個(gè)三次函數(shù)
都有對(duì)稱中心.請(qǐng)你探究函數(shù)
,猜想它的對(duì)稱中心為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
函數(shù)
.
(1)討論
的單調(diào)性;
(2)設(shè)
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
。
(1)當(dāng)
時(shí),①求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;②求函數(shù)
的圖象在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)若函數(shù)
既有極大值,又有極小值,且當(dāng)
時(shí),
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
,且
,其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求
的極值;
(2)若
,使得不等式
成立,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若曲線
上點(diǎn)
處的切線平行于直線
,則點(diǎn)
的坐標(biāo)是________.
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