Question

已知函數(shù)
（1）若，求證：函數(shù)在(1，+∞)上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；
（3）若存在[l，e]，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；（3）的取值范圍是.

試題分析：（1）當(dāng)時,，當(dāng)，，因此要證在上是增函數(shù)，只需證明在上有，而這是顯然成立的，故得證；（2）由（1）中的相關(guān)結(jié)論，可證當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上的最小值即為；（3）可將不等式變形為，因此問題就等價于當(dāng)時，需滿足，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在上的單調(diào)性，可知在上為增函數(shù)，故，即的取值范圍是．
（1）當(dāng)時,，當(dāng)，，
故函數(shù)在上是增函數(shù)                 2分；
（2）,當(dāng),，
當(dāng)時，在上非負(fù)(僅當(dāng)，時，)，
故函數(shù)在上是增函數(shù),此時.
∴當(dāng)時,的最小值為1,相應(yīng)的值為1.         5分；
（3）不等式,可化為.
∵， ∴且等號不能同時取,所以,即，
因而()，
令(),又，
當(dāng)時，，，
從而(僅當(dāng)x=1時取等號),所以在上為增函數(shù)，
故的最小值為,所以的取值范圍是.        10分.