【題目】已知函數(shù)).

(1)若曲線在點處的切線經(jīng)過點,求的值;

(2)若在區(qū)間上存在極值點,判斷該極值點是極大值點還是極小值點,并求的取值范圍;

(3)若當時, 恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1)(2)為極小值點. 的取值范圍是(3)

【解析】試題分析:(1)由導數(shù)幾何意義得切線斜率為,再根據(jù)點斜式寫出切線方程,最后代入點坐標求的值;(2)由題意轉(zhuǎn)化為對應方程在區(qū)間上有解,再利用變量分離法轉(zhuǎn)化為求對應函數(shù)值域,即得的取值范圍;最后根據(jù)符號變化規(guī)律確定該極值點是極大值點還是極小值點,(3)恒成立問題,一般利用變量分離法轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值: 最大值,再利用導數(shù)研究函數(shù)最大值,即得的取值范圍.

試題解析:解:(1)對求導,得.

因此.又,

所以,曲線在點處的切線方程為.

代入,得.解得.

(2)的定義域為.

.

的一個極值點為,則,即.

所以 .

時, ;當時, .

因此上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

所以的唯一的極值點,且為極小值點.

由題設可知.

因為函數(shù)上為減函數(shù),

所以,即.

所以的取值范圍是.

(3)當時, 恒成立,則恒成立,

恒成立.

,求導得.

),顯然上為減函數(shù).

,則當時, ,從而;

時, ,從而.

所以上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

所以,所以,即的取值范圍為.

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展開得.……②

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類比上述方法,設實系數(shù)一元次方程)在復數(shù)集內(nèi)的根為 ,…, ,則這個根的積 __________

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