【題目】已知函數(shù)().
(1)若,求函數(shù)的極值.
(2)若在有唯一的零點,求的取值范圍.
(3)若,設,求證: 在內(nèi)有唯一的零點,且對(2)中的,滿足.
【答案】(1)有極小值,無極大值 (2) (3)證明見解析
【解析】試題分析:
(1)首先求得導函數(shù),然后利用導函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性可得有極小值,無極大值.
(2)對函數(shù)求導后令設.結合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得的取值范圍是
(3) 設,則,換元可得,利用導函數(shù)研究函數(shù)零點所在的區(qū)間即可證得題中的結論.
試題解析:
(1)當時, , ,
.
由,令,得.
當變化時, , 的變化如下表:
0 | |||
極小值 |
故函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
有極小值,無極大值.
(2)解法一: ,
令,得,設.
則在有唯一的零點等價于在有唯一的零點
當時,方程的解為,滿足題意;
當時,由函數(shù)圖象的對稱軸,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
且, ,所以滿足題意;
當, 時, ,此時方程的解為,不符合題意;
當, 時,由,
只需,得.
綜上, .
(說明: 未討論扣1分)
解法二: ,
令,由,得.
設,則, ,
問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在恰有一個交點問題.
又當時, 單調(diào)遞增,
故直線與函數(shù)的圖象恰有一個交點,當且僅當.
(3)設,則,
,
,
由,故由(2)可知,
方程在內(nèi)有唯一的解,
且當時, , 單調(diào)遞減;
時, , 單調(diào)遞增.
又,所以.
取,
則
,
從而當時, 必存在唯一的零點,且,
即,得,且,
從而函數(shù)在內(nèi)有唯一的零點,滿足.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若曲線在點處的切線經(jīng)過點,求的值;
(2)若在區(qū)間上存在極值點,判斷該極值點是極大值點還是極小值點,并求的取值范圍;
(3)若當時, 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】為了降低能源消耗,某冷庫內(nèi)部要建造可供使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為4萬元,又知該冷庫每年的能源消耗費用(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位: )滿足關系,若不建隔熱層,每年能源消耗為8萬元.設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求的值及的表達式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用達到最小?并求最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校后勤處為跟蹤調(diào)查該校餐廳的當月的服務質(zhì)量,兌現(xiàn)獎懲,從就餐的學生中隨機抽出100位學生對餐廳服務質(zhì)量打分(5分制),得到如下柱狀圖:
(1)從樣本中任意選取2名學生,求恰好有一名學生的打分不低于4分的概率;
(2)若以這100人打分的頻率作為概率,在該校隨機選取2名學生進行打分(學生打分之間相互獨立)記表示兩人打分之和,求的分布列和.
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【題目】設命題實數(shù)滿足,其中,命題實數(shù)滿足.
(1)若,有且為真,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當時,車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的表達式;
(2)當車流密度為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列程序運行后,a,b,c的值各等于什么?
(1)_____________________________________________________________.
(2)_____________________________________________________________.
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