Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為： (為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求直角坐標(biāo)系下曲線與曲線的方程；

(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到上點(diǎn)的距離的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) , ;(2) 最大值為, .

【解析】試題分析：

(1)將極坐標(biāo)、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化可得直角坐標(biāo)系下曲線與曲線的方程分別為, ;

(2)利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)到上點(diǎn)的距離的最大值是,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是.

試題解析：

(1)由曲線，可得，兩式兩邊平方相加得： .

即曲線在直角坐標(biāo)系下的方程為.

由曲線，即，所以，

即曲線在直角坐標(biāo)系下的方程為.

(2)由(1)知橢圓與直線無(wú)公共點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為，

∴當(dāng)即時(shí)， 的最大值為.

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.