Question

（1）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一個小于2．
（2）設(shè)x＞0，y＞0且x+y=1，求證：（1+

1

x

）（1+

1

y

）≥9．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式

分析：（1）利用反證法進行證明；
（2）利用分析法證明即可．

解答： 證明：（1）假設(shè)

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2…2
∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，…..3
∴1+1+a+b≥2（a+b），即 a+b≤2….4
這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．…..5
（2）要證（1+

1

x

）（1+

1

y

）≥9成立，-----（1分）
∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴y=1-x＞0．
只需證明：（1+

1

x

）（1+

1

1-x

）≥9，--------------------（2分）
即證（1+x）（2-x）≥9x（1-x），-------------------------（3分）
即證2+x-x²≥9x-9x²，即證4x²-4x+1≥0．
即證（2x-1）²≥0，此式顯然成立，----------------------（4分）
∴原不等式成立．----------------------------------（5分）

點評：反證法是一種簡明實用的數(shù)學證題方法，也是一種重要的數(shù)學思想．相對于直接證明來講，反證法是一種間接證法．它是數(shù)學學習中一種很重要的證題方法．其實質(zhì)是運用“正難則反”的策略，從否定結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾．