Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）．
（1）若x=

π

6

，求向量

a

與

c

的夾角；
（2）當(dāng)x∈[

π

2

，

9π

8

]時(shí)，求函數(shù)f（x）=2

a

•

b

+1的最大值，并求此時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x=

π

6

時(shí)，可得

a

=（

3

2

，

1

2

），由夾角公式可得；
（2）由數(shù)量積和三角函數(shù)的運(yùn)算可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），由x∈[

π

2

，

9π

8

]和三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

解答： 解：（1）設(shè)

a

與

c

的夾角為θ，
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，

a

=（

3

2

，

1

2

），
∴cosθ=

a • c

| a || c |

=

3 2 ×(-1)+ 1 2 ×0

( 3 2 )2+( 1 2 )2 • (-1)2+02

=-

3

2

．
∵θ∈[0，π]，∴θ=

5π

6

．
（2）由題意可得f（x）=2

a

•

b

+1
=2（-cos²x+sin xcos x）+1
=2sin xcos x-（2cos²x-1）
=sin 2x-cos 2x
=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[

π

2

，

9π

8

]，∴2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-1，

2

2

]，
∴當(dāng)2x-

π

4

=

3π

4

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）_max=

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的夾角，涉及三角函數(shù)的取值范圍，屬中檔題．