【題目】如圖,在各棱長(zhǎng)均相等的三棱柱中,設(shè)的中點(diǎn),直線與棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

1)求證:直線平面;

2)若底面,求二面角的正弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析(2

【解析】

1)連接于點(diǎn),連接,由中位線定理可得,即可由線面平行的判定定理證明平面;

2)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,可證明,則以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積定義可求得兩個(gè)平面夾角的余弦值,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得二面角的正弦值.

1)證明:連接于點(diǎn),連接,如下圖所示:

,

.

由已知條件得,

.

又∵平面,且平面,

∴直線平面.

2)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,

由已知得.

又∵,

.

結(jié)合,得.

.

由題意以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:

設(shè),則,,,.

,,.

,得平面的一個(gè)法向量為,

,得平面的一個(gè)法向量為.

于是.

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可知

故二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為.

1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;

2)若射線)與曲線,分別交于,兩點(diǎn)(不是原點(diǎn)),求的最大值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的極坐標(biāo)方程為。

1)求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;

2)設(shè)圓與直線交于,兩點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求。

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求的直角坐標(biāo)方程;

(2)直線為參數(shù))與曲線交于兩點(diǎn),與軸交于,求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,為等邊三角形,,,且.

1)求證:平面平面;

2)求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)).在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系(兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同)中,曲線的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

1)求常數(shù)的值;

2)設(shè)交于、兩點(diǎn),且,求的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)求的極坐標(biāo)方程;

2)將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,得到曲線,若的交點(diǎn)為(異于坐標(biāo)原點(diǎn)),的交點(diǎn)為,求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】知函數(shù),,在交點(diǎn)處的切線相互垂直.

(1)的解析式;

(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),的取值范圍 .

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1)若,求實(shí)數(shù)的值;

2)若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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