【題目】已知f(x)=loga (a>0,且a≠1).
(1)證明f(x)為奇函數(shù);
(2)求使f(x)>0成立的x的集合.

【答案】
(1)證明:由題意可得 >0,即(1+x)(1﹣x)>0,

即 (x+1)(x﹣1)<0,求得﹣1<x<1,

所以函數(shù)定義域為(﹣1,1),關(guān)于原點對稱.

再根據(jù)f(﹣x)= =﹣ =﹣f(x),可得f(x)為奇函數(shù)


(2)解:不等式f(x)>0,即 >0,

由(1)得函數(shù)定義域為函數(shù)定義域為(﹣1,1),

當(dāng)a>1時,即 >loga1,∴ ,

<0,∴2x(x﹣1)<0,求得 0<x<1.

當(dāng)0<a<1時,f(x)>0,即 >loga1,∴0< <1,

<0,且 >0,∴﹣1<x<0.

綜上,當(dāng)a>1時,不等式的解集為(0,1),當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為(﹣1,0).


【解析】(1)由題意可得 >0,求得函數(shù)的定義域為(﹣1,1),關(guān)于原點對稱.再根據(jù)f(﹣x)=﹣f(x),可得f(x)為奇函數(shù).(2)不等式f(x)>0,即 >0,分類討論a的范圍,利用函數(shù)的單調(diào)性,求得x的范圍.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇.

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