Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=x2+1，

∴f（x）的定義域為R，

∵f（﹣x）=（﹣x）2+1=x2+1=f（x），

∴函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)

（2）證明：在（0，+∞）上任意選取x1，x2，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= =（x1﹣x2）（x1+x2），

∵x1＞0，x2＞0，x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，x1+x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

【解析】（1）求出f（x）的定義域為R，f（﹣x）=f（x），從而得到函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)．（2）在（0，+∞）上任意選取x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 推導(dǎo)出f（x1）﹣f（x2）＜0，由此能證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
【考點精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．