Question

寫出符合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)M（a，2）到準(zhǔn)線的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1有共同的漸近線且過點(diǎn)A（2，-3）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）已知M（-2，0），N（2，0），則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2py，p＞0，由已知條件推導(dǎo)出2+

p

2

=3，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1有共同的漸近線的雙曲線為

x2

4

-

y2

3

=λ，由所求雙曲線過點(diǎn)A（2，-3），能求出結(jié)果．
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=（2+2）²，x≠±2，由此能求出以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，
∴設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=2py，p＞0，
∵點(diǎn)M（a，2）到準(zhǔn)線y=-

p

2

的距離為3，
∴2+

p

2

=3，解得p=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y．
（2）設(shè)與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1有共同的漸近線的雙曲線為

x2

4

-

y2

3

=λ，
∵所求雙曲線過點(diǎn)A（2，-3），
∴

4

4

-

9

3

=λ，即λ=-2，
∴所求雙曲線為

x2

4

-

y2

3

=-2，
整理，得

y2

6

-

x2

8

=1．
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=（2+2）²，x≠±2，
整理，得x²+y²=4，（x≠±2）．
∴以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=4，（x≠±2）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程、雙曲線方程和圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．