Question

已知x₁，x₂，…x_n∈R₊，且x₁x₂…x_n=1，求證：（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_n）≥（

2

+1）ⁿ．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：選作題,不等式

分析：利用數學歸納法證明，先證明n=1時，不等式成立，再假設n=k時，不等式成立，進而證明出n=k+1時，不等式成立即可．

解答： 證明：（�。┊攏=1時，

2

+x₁=

2

+1，不等式成立．
（ⅱ）假設n=k時不等式成立，即：（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_k）≥（

2

+1）^k成立．
則n=k+1時，若x_k+1=1，則命題成立；若x_k+1＞1，則x₁，x₂，…，x_k中必存在一個數小于1，
不妨設這個數為x_k，從而（x_k-1）（x_k+1-1）＜0，即x_k+x_k+1＞1+x_kx_k+1．
x_k+1＜1同理可得，
所以（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_k+1）=（

2

+x₁）（

2

+x₂）…[2+

2

（x_k+x_k+1）+x_kx_k+1]≥
（

2

+x₁）（

2

+x₂）…[2+

2

（1+x_k+1）+x_kx_k+1]≥（

2

+1）^k（

2

+1）=（

2

+1）^k+1，
故n=k+1時，不等式也成立．
由（�。�（ⅱ）及數學歸納法原理知原不等式成立．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．