【題目】函數(shù)f(x)=ka﹣x(k,a為常數(shù),a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)A(0,1),B(3,8).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)= 是奇函數(shù),求b的值;
(3)在(2)的條件下判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(4)解不等式g(3x)+g(x﹣3﹣x2)<0.
【答案】
(1)解:將A(0,1),B(3,8)代入函數(shù)解析式,得 ,
解得k=1,a= ,
∴f(x)=2x
(2)解:g(x)= = ,
若g(x)是奇函數(shù),
則g(﹣x)=﹣g(x),
即 =﹣ ,
即 = ,
即1+b2x=2x+b,
則b=1
(3)解:∵b=1,
∴g(x)= = =1+ ,
要使原來(lái)函數(shù)有意義,必須滿足2x﹣1≠0,即x≠0
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0};
設(shè)x1<x2<0,
則g(x1)﹣g(x2)=1+ ﹣1﹣ = ﹣ =
= ,
∵x1<x2<0,
∴ < <1,即 ﹣ >0.
﹣1<0, ﹣1<0,
則 >0,
即g(x1)﹣g(x2)>0,則g(x
同理當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)
(4)解:∵g(x)= = =1+ ,
∴當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,
當(dāng)x<0時(shí),g(x)<0,
不等式g(3x)+g(x﹣3﹣x2)<0.
等價(jià)為不等式g(3x)<﹣g(x﹣3﹣x2)=g(x2﹣x+3),
∵x2﹣x+3=(x﹣ )2+ >0,
∴g(x2﹣x+3)>0,
若3x<0,則x<0時(shí),g(3x)<0,則不等式成立,
若3x>0,即x>0時(shí),
∵g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
∴3x>x2﹣x+3,
即x2﹣4x+3<0,
解得1<x<3,
綜上不等式的解為1<x<3或x<0,
即不等式的解集為(1,3)∪(﹣∞,0)
【解析】(1)將A(0,1),B(3,8)代入函數(shù)解析式,得到關(guān)于k和a的方程,解方程即可得k和a的值,最后寫出解析式即可.(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行求解.(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.(4)結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,P是⊙O所在平面外一點(diǎn),PA垂直于⊙O所在平面,且PA=AB=10,設(shè)點(diǎn)C為⊙O上異于A、B的任意一點(diǎn).
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)若AC=6,求三棱錐C﹣PAB的體積.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=丨x+a+1丨+丨x-丨,(a>0)。
(1)證明:f(x)≥5;
(2)若f(1)<6成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,且過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),試問在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加某項(xiàng)競(jìng)賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間,他們參加的5項(xiàng)預(yù)賽成績(jī)的莖葉圖記錄如下:
(1)從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè),求甲的成績(jī)比乙高的概率;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加該項(xiàng)競(jìng)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?說(shuō)明理由.
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【題目】設(shè)函數(shù),
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng), 時(shí),求證: .
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【題目】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知a= ,cosA= ,B=A+
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】觀察下列等式:13+23=32 , 13+23+33=62 , 13+23+33+43=102 , …,根據(jù)上述規(guī)律,得到一般結(jié)論是 .
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【題目】如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖,則由圖形中的數(shù)據(jù),可以估計(jì)眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )
A.12.5 12.5
B.12.5 13
C.13 12.5
D.13 13
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