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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.

【答案】（1）∵橢圓E的離心率為，∴①.∵兩準線之間的距離為8，∴②.聯立①②得，∴，故橢圓E的標準方程為.

（2）設，則，由題意得，整理得，∵點在橢圓E上，∴，∴，∴，故點P的坐標是.

【解析】

解：（1）設橢圓的半焦距為c.

因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以，，

解得，于是，

因此橢圓E的標準方程是.

（2）由（1）知，，.

設，因為點為第一象限的點，故.

當時，與相交于，與題設不符.

當時，直線的斜率為，直線的斜率為.

因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，

從而直線的方程：， ①

直線的方程：. ②

由①②，解得，所以.

因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或.

又在橢圓E上，故.

由，解得；，無解.

因此點P的坐標為.

練習冊系列答案
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B. 、
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