Question

【題目】如圖，由半圓x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分拋物線y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲線C稱為“羽毛球形線”，曲線C與x軸有A、B兩個(gè)焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2.3）．
（1）求a、r的值；
（2）設(shè)N（0，2），M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值；
（3）過(guò)A且斜率為k的直線l與“羽毛球形線”相交于P，A，Q三點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將（2，3）代入y=a（x2﹣1），解得：a=1，由y=x2﹣1與x軸交于（±1，0），

則A（1，0），B（﹣1，0），

代入圓x2+y2=r2，解得：r=±1，由r＞0，則r=1，

∴a的值為1，r的值為1

（2）解：設(shè)M（x0，y0），則丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2，

當(dāng)y0≤0，x02=1﹣y02，丨MN丨2=5﹣4y0，

∴當(dāng)y0=0時(shí)，丨MN丨min= ，

當(dāng)y≥0時(shí)，x02=1+y0，丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2=1+y0+（y0﹣2）2=y02﹣3y0+5=（y0﹣ ）2+ ，

當(dāng)y0= 時(shí)，丨MN丨min=

（3）解：由題意可知：PQ的方程y=k（x﹣1）， ，整理得：x2﹣kx+k﹣1=0，

則x=1，y=k﹣1，則Q（k﹣1，k2﹣2k），

則 ，整理得：（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0，

解得：x=1或x= ，

則P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣ ），

由∠QBA=∠PBA，

則kBP=﹣kBQ，即 =﹣ ，

即k2﹣2k﹣1=0，解得：k=1± （負(fù)值舍去），

因此存在實(shí)根k=1+ ，使得∠QBA=∠PBA

【解析】（1）由將點(diǎn)代入拋物線方程，即可求得a的值，求得A，B點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可r的值；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，采用分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得|MN|的最小值；（3）將直線方程，代入拋物線及圓的方程求得Q及P點(diǎn)坐標(biāo)，由kBP=﹣kBQ ， 即可求得k的值，因此存在實(shí)根k=1+ ，使得∠QBA=∠PBA．