【題目】如圖,在三棱錐中,,,.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)第(Ⅰ)問,直接轉(zhuǎn)化為證明平面. (2)第(Ⅱ)問,可以利用幾何法求,也可以利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.

試題解析:(Ⅰ)如圖,取的中點(diǎn),連結(jié).

因?yàn)?/span>為正三角形,所以

因?yàn)?/span>,所以.

,,平面,

所以平面.

因?yàn)?/span>平面,所以.

(Ⅱ)解法一:過點(diǎn)的垂線,垂足為,連結(jié).

因?yàn)?/span>平面,平面,所以平面平面,又平面平面,平面,故平面.所以直線與平面所成角為.

中,,,

由余弦定理得 ,所以.

所以,.又

,即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二:如圖,以原點(diǎn),以,,軸建立空間直角坐標(biāo)系.

可求得,則,,.

平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成角為,則 .

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求橢圓的方程;

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【題目】為了解學(xué)生的課外閱讀時(shí)間情況,某學(xué)校隨機(jī)抽取了 50人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,把這50人每天閱讀的時(shí)間(單位:分鐘)繪制成頻數(shù)分布表,如下表所示:

若把每天閱讀時(shí)間在60分鐘以上(含60分鐘)的同學(xué)稱為“閱讀達(dá)人”,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果中男女生閱讀達(dá)人的數(shù)據(jù),制作出如圖所示的等高條形圖.

(1)根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生的每天平均閱讀時(shí)間(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表);

(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“閱讀達(dá)人”跟性別有關(guān)?

附:參考公式

,其中.

臨界值表:

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