【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣(a>0).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)≥﹣+ax+b恒成立,求a時,實(shí)數(shù)b的最大值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)求出并對其因式分解,對1的大小分類討論,由的正負(fù)情況判斷的單調(diào)性。

(2)把f(x)≥﹣+ax+b恒成立轉(zhuǎn)化成b≤﹣alnx+x恒成立,令g(x)=﹣alnx+x,求出g′(x)=,判斷g(x)的單調(diào)性,從而求得g(x)min=﹣alna+a,令h(a)=﹣alna+a,求得h′(a)=﹣lna>0,即可求得h(a)min,問題得解。

(1)∵f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣(a>0),定義域?yàn)椋?,+∞),

,x>0

令f′(x)=0,則x1=a,x2=1

①當(dāng)0<a<1時,令f′(x)>0,則a<x<1;

令f′(x)<0,則0<x<a,或x>1,

∴f(x)在(0,a),(1,+∞)上單調(diào)遞減;在(a,1)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)a=1時,f′(x)≤0,且僅在x=1時,f′(x)=0,

∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減;

③當(dāng)a>1時,令f′(x)>0,則1<x<a;

令f′(x)<0,則0<x<1,或x>a,

∴在(0,1 ),(a,+∞)上單調(diào)遞減;在(1,a)上單調(diào)遞增.

綜上所述,

當(dāng)0<a<1時,f(x)在(0,a),(1,+∞)上單調(diào)遞減;在(a,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a=1時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>1時,f(x)在(0,1),(a,+∞)上單調(diào)遞減;在(1,a)上單調(diào)遞增.

(2)∵f(x)=﹣alnx+(a+1)x﹣(a>0)

恒成立,

∴b≤﹣alnx+x恒成立

令g(x)=﹣alnx+x,x>0,

即b≤g(x)min,

∵g′(x)=,(a>0),

∴g(x) 在(0,a)單調(diào)遞減,(a,+∞) 單調(diào)遞增;

g(x)min=g(a)=﹣alna+a

∴b≤﹣alna+a,a∈[,1],

令h(a)=﹣alna+a

∴h′(a)=﹣lna>0,∴h(a)單調(diào)遞增,

∴h(a)min=h()=(1+ln2),

即b的最大值為

練習(xí)冊系列答案
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時間

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)設(shè)函數(shù),求集合

)求證:

)設(shè)函數(shù),且,求證:

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