Question

【題目】已知圓與定點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）若過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)交軌跡于不同的兩點(diǎn)、，求弦長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題設(shè)可知，動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

（2）弦長(zhǎng)問(wèn)題采用代入法，直線(xiàn)斜率不存在弦長(zhǎng)為，直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)坐標(biāo)，直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓與直線(xiàn)方程，通過(guò)和韋達(dá)定理表示出，最后運(yùn)用換元法和函數(shù)的性質(zhì)，確定最大值.

解：（1）設(shè)圓的半徑為，題意可知，點(diǎn)滿(mǎn)足：

，，

所以，，

由橢圓定義知點(diǎn)的軌跡為以 為焦點(diǎn)的橢圓，且

進(jìn)而，故軌跡方程為：．

（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，或，/span>，

此時(shí)弦長(zhǎng)．

當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，

由 消去得：，

由△ 恒成立，

設(shè)、，可得：

，，

，

令8，則，

，，

．

綜上，弦長(zhǎng)的最大值為．