【題目】設(shè)x,yz為非零實數(shù),滿足xy+yz+zx=1,證明:.

【答案】不等式的證明一般可以考慮運(yùn)用作差法或者是利用分析法來證明。

【解析】

試題為使所證式有意義,三數(shù)中至多有一個為0;據(jù)對稱性,不妨設(shè),則;

、當(dāng)時,條件式成為,,,而

,

只要證,,即,也即,此為顯然;取等號當(dāng)且僅當(dāng)

、再證,對所有滿足的非負(fù)實數(shù),皆有

.顯然,三數(shù)中至多有一個為0,據(jù)對稱性,

仍設(shè),則,令,為銳角,以為內(nèi)角,構(gòu)作,則 ,于是,且由知,;于是,即是一個非鈍角三角形.

下面采用調(diào)整法,對于任一個以為最大角的非鈍角三角形,固定最大角,將調(diào)整為以為頂角的等腰,其中,且設(shè),記,據(jù)知,

.今證明,.即

……①

即要證……②

先證……③,即證,

,此即,也即

,即,此為顯然.

由于在中,,則;而在中,

,因此式成為

……④,

只要證,……⑤,即證,注意式以及

,只要證,即,也即…⑥

由于最大角滿足:,而,則,所以

,故成立,因此得證,由成立,從而成立,即,因此本題得證.

練習(xí)冊系列答案
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