Question

已知a，b，c都是正數(shù)，求

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3=（a+b+c）（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

），再利用柯西不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3=（a+b+c）（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

）
=

1

2

[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

）≥

1

2

(1+1+1)2=

9

2

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

．
∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

的最小值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：柯西不等式的特點(diǎn)：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”，再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去嘗試構(gòu)造．