Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在線段A₁B₁上，且

A1P

=λ

A 1B1

（1）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（2）當λ=

1

2

時，求直線PN與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（1）以A為坐標原點，分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明無論λ取何值，總有AM⊥PN．
（2）求出

PN

和平面ABC的法向量，利用向量法能求出直線PN與平面ABC所成角的余弦值．

解答： （1）證明：以A為坐標原點，分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意知：A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），M（0，1，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，0），

A1P

=λ

A1B1

=（λ，0，0），

AP

=

AA1

+

A1P

=(λ，0，1)，

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)，…（4分）
∵

AM

=（0，1，

1

2

），∴

AM

•

PN

=0+

1

2

-

1

2

=0，
∴無論λ取何值，總有AM⊥PN．…（6分）
（2）解：λ=

1

2

時，P（

1

2

，0，1），

PN

=(0，

1

2

，-1)，
由題意知平面ABC的法向量

n

=(0，0，1)…（8分）
設α為PN與面ABC所成角，
則sinα=|cos＜

PN

，

n

＞|=|

-1

1+ 1 4

|=

2 5

5

，…（12分）
∴cosα=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
∴直線PN與平面ABC所成角的余弦值為

5

5

．…（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．