Question

已知直線l：2x+y+2=0及圓C：x²+y²=2y．
（1）求垂直于直線l且與圓C相切的直線l′的方程；
（2）過直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作圓C的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，求PT的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：第（1）問由直線l′與直線l垂直可得其斜率，再利用待定系數(shù)法結(jié)合直線與圓相切的條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程求解；
第（2）問利用切線的性質(zhì)，即切線長平方加上半徑的平方等于P點(diǎn)到圓心距離的平方，從而把求PT的最小值轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)P到圓心的距離的最小值，顯然就是圓心到直線的距離最小．

解答： 解：∵l：2x+y+2=0及圓C：x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1，∴圓心C（0，1），r=1，
（1）∵l′⊥l，∴kl′=

1

2

，設(shè)l′的方程為 y=

1

2

x+b，即x-2y+2b=0，
則由l′與圓C相切得

|-2+2b|

5

=1，解得b=1±

5

2

，
所以切線方程為x-2y+2+

5

=0或x-2y+2-

5

=0．
（2）如圖所示，設(shè)切點(diǎn)為T，P是直線上任一點(diǎn)，則由切線的性質(zhì)可知PC²=PT²+1，所以要使PT最小，只需PC最小，則當(dāng)PC⊥l時(shí)，PC最小，
此時(shí)PC表示C到直線l的距離，∴PC=

|1+2|

5

=

3 5

5

，PTmin=

( 3 5 5 )2-1

=

2 5

5

．

點(diǎn)評：直線與圓的位置關(guān)系，比如切線及切線長問題，弦長問題等的處理，一般用幾何法即通過研究圓心到直線的距離、半徑等的關(guān)系解決．