Question

在公差為d的等差數(shù)列{a_n}中，若

a

1

=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求d，a_n；
（Ⅱ）若d＜0，且b_n+n=a_n，求|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|．

Answer 1

分析：（I）由a₁、2a₂+2、5a₃成等比數(shù)列，利用等比中項的定義列式：5a₁a₃=（2a₂+2）²，化簡整理得d²-3d-4=0，解之得d=-1或d=4．再結(jié)合

a

1

=10利用等差數(shù)列的通項公式加以計算，可得通項a_n的表達式；
（II）由（I）的結(jié)論得a_n=-n+11，從而算出b_n=-2n+11，可得當1≤n≤5時b_n＞0且當n≥6時b_n＜0．因此分兩種情況討論，并利用等差數(shù)列的求和公式加以計算，可得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|的表達式．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁、2a₂+2、5a₃成等比數(shù)列，
∴5a₁a₃=（2a₂+2）²，即5a₁（a₁+2d）=（2a₁+2d+2）²，
整理得d²-3d-4=0．解得d=-1或d=4．
當d=-1時，a_n=a₁+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11；當d=4時，a_n=a₁+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．
綜上所述，可得d=-1、a_n=-n+11或d=4、a_n=4n+6；
（II）若d＜0，由（I）可得a_n=-n+11，
∵b_n+n=a_n，∴b_n=a_n-n=-2n+11，
①當1≤n≤5時，b_n＞0，
可得|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+…+b_n=

n(9+11-2n)

2

=10n-n²；
②當n≥6時，b_n＜0，
可得|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+…+b₅+（-b₆…-b_n）
=-（b₁+b₂+…+b_n）+2（b₁+b₂+…+b₅）=-

n(9+11-2n)

2

+2×

5(9+1)

2

=n²-10n+50．
綜上所述，|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=

10n-n2      (1≤n≤5) n2-10n+50     (n≥6)

．

點評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念，考查了等差數(shù)列的通項公式，求和公式，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和運算能力，屬于中檔題．