(2013•浙江)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求d,an
(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
分析:(Ⅰ)直接由已知條件a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列列式求出公差,則通項(xiàng)公式an可求;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結(jié)論,得到等差數(shù)列{an}的前11項(xiàng)大于等于0,后面的項(xiàng)小于0,所以分類討論求d<0時(shí)|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和.
解答:解:(Ⅰ)由題意得5a3a1=(2a2+2)2,即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2,整理得d2-3d-4=0.解得d=-1或d=4.
當(dāng)d=-1時(shí),an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+11.
當(dāng)d=4時(shí),an=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6.
所以an=-n+11或an=4n+6;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,因?yàn)閐<0,由(Ⅰ)得d=-1,an=-n+11.
則當(dāng)n≤11時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-
1
2
n2+
21
2
n

當(dāng)n≥12時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=
1
2
n2-
21n
2
+110

綜上所述,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
-
1
2
n2+
21
2
n,n≤11
1
2
n2-
21
2
n+110,n≥12
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念,考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求和公式,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的運(yùn)算能力,是中檔題.
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