Question

設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y²-

x2

4

=1的兩條漸近線和拋物線y²=-8x的準(zhǔn)線所圍成的三角形（含邊界與內(nèi)部）．若點(diǎn)（x，y）∈D，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值與最小值之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出雙曲線的漸進(jìn)性，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)即可得到結(jié)論．

解答： 解：雙曲線y²-

x2

4

=1的兩條漸近線方程為y=±

1

2

x，拋物線y²=-8x的準(zhǔn)線準(zhǔn)線方程為x=2，
則對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=x+y得y=-x+z，平移直線y=-x+z，由平移可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，直線y=-x+z的截距最小，此時(shí)z=0，
當(dāng)y=-x+z經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）時(shí)，直線y=-x+z的截距最大，
此時(shí)z=x+y=1+2=3，
故目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值與最小值之和為0+3=3，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，求出雙曲線的漸近線方程以及拋物線的準(zhǔn)線方程是解決本題的關(guān)鍵．