【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時,若方程有兩個相異實根,且,證明: .

【答案】(1) 上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增.(2)見解析.

【解析】試題分析:

1由題令,解得(舍去),,結(jié)合圖象可得的符號,進而得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)將證明的問題轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)值大小的問題,然后利用單調(diào)性求解。設(shè),可得,再通過構(gòu)造函數(shù)的方法可證得,即,最后再利用上單調(diào)遞增,可得.

試題解析

(1)因為

所以,

因為,所以,

(舍去),,

所以當(dāng)時, 單調(diào)遞減,

當(dāng)時, 單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)時, ,

設(shè)的兩個相異實根分別為,

滿足,且,

,

,所以上遞減

由題意可知,故,

所以,

,

,

,

當(dāng)時,

所以是減函數(shù),

所以,

所以當(dāng)時, ,

所以,

因為, 上單調(diào)遞增,

所以.

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