【題目】已知直線l:(k﹣1)x﹣2y+5﹣3k=0(k∈R)恒過定點P,圓C經(jīng)過點A(4,0)和點P,且圓心在直線x﹣2y+1=0上.
(1)求定點P的坐標(biāo);
(2)求圓C的方程;
(3)已知點P為圓C直徑的一個端點,若另一個端點為點Q,問:在y軸上是否存在一點M(0,m),使得△PMQ為直角三角形,若存在,求出m的值,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:由(k﹣1)x﹣2y+5﹣3k=0得,k(x﹣3)﹣(x+2y﹣5)=0,

,得 ,即定點P的坐標(biāo)為(3,1).


(2)解:設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

由條件得 ,解得

所以圓C的方程為x2+y2﹣14x﹣8y+40=0,

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(x﹣7)2+(y﹣4)2=25.


(3)解:圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣7)2+(y﹣4)2=25,則

設(shè)點P(3,1)關(guān)于圓心(7,4)的對稱點為(x0,y0),則有

解得x0=11,y0=7,故點Q的坐標(biāo)為(11,7).

因為M在圓外,所以點M不能作為直角三角形的頂點,

若點P為直角三角形的頂點,則有 ,m=5,

若點Q是直角三角形的頂點,則有 , ,

綜上,m=5或


【解析】(1)左右直線l的方程:k(x﹣3)﹣(x+2y﹣5)=0,令 ,即可求得定點P的坐標(biāo);(2)設(shè)圓的方程,由題意列方程組,即可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)由(2)可知:求得直線CP的斜率,根據(jù)對稱性求得Q點坐標(biāo),由M在圓外,所以點M不能作為直角三角形的頂點,分類討論,即可求得m的值.

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分組

頻數(shù)

頻率

[85,95)

0.025

[95,105)

0.050

[105,115)

0.200

[115,125)

12

0.300

[125,135)

0.275

[135,145)

4

[145,155]

0.050

合計


(1)根據(jù)圖表,①②③處的數(shù)值分別為、、;
(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出[85,155]的頻率分布直方圖;

(3)根據(jù)題中信息估計總體落在[125,155]中的概率.

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