Question

【題目】已知函數(shù)．

⑴當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

⑵若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2）

【解析】試題分析：（1），通過求導(dǎo)分析，得函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2），所以，通過求導(dǎo)討論，得到的取值范圍是．

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為

當(dāng)時，，

所以

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；

（2）設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同，

則

所以

所以，代入得：

設(shè)，則

不妨設(shè)則當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

代入可得：

設(shè)，則對恒成立，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又

所以當(dāng)時，即當(dāng)時,

又當(dāng)時

因此當(dāng)時，函數(shù)必有零點(diǎn)；即當(dāng)時，必存在使得成立；

即存在使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同．

又由得：

所以單調(diào)遞減，因此

所以實數(shù)的取值范圍是．