Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-x|-ax．
（Ⅰ）當a=

1

2

時，求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）當a≤-1時，求函數(shù)f（x）在，[-2，2]上的最小值．

Answer 1

考點：冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關系,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ） 根據(jù)解方程的方法解方程即可
（Ⅱ）先化為分段函數(shù)，在分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調性求出最值

解答： 解：（Ⅰ）當a=

1

2

時，由f（x）=0，得）=|x²-x|-

1

2

x．
顯然，x=0是方程的根，當x≠0時，|x-1|=

1

2

，x=

1

2

或

3

2

．
所以，方程f（x）=0的根0，=

1

2

或

3

2

．
（Ⅱ）f（x）=

x2-(a+1)x，x≥1或x≤0 -x2+(1-a)x，0＜x＜1

當a≤-1時，函數(shù)y=-x²+（1-a）x的對稱軸x=

1-a

2

≥1，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，結合函數(shù)y=x²-（a+1）x的對稱軸x=

a+1

2

≤0，可知函數(shù)f（x）在（-∞，

a+1

2

]上為減函數(shù)，在[

a+1

2

，+∞）上為增函數(shù)．
（1）當

a+1

2

≤-2，即a≤-5時，
函數(shù)f（x）在[-2，2]上是單調遞增函數(shù)，f（x）的最小值為f（-2）=2a+6，
（2）當

a≤-1 a+1 2 ＞-2

，即-5＜a≤1時，
函數(shù)f（x）在[-2，

a+1

2

]上單調遞減，在[

a+1

2

，2]上單調遞增，
f（x）的最小值為f（

a+1

2

）=-

(a+1)2

4

．…（9分）
綜上所述，函數(shù)f（x）的最小值[f（x）]_min=

2a+6，a≤-5 - (a+1)2 4 ，-5＜a≤-1

點評：本題考查函數(shù)的單調性以及最值問題，培養(yǎng)了學生的分類討論的思想，屬于中檔題