Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ ）x ， 函數(shù)g（x）=log x．
（1）若g（ax2+2x+1）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[（ ）t+1 ， （ ）t]時(shí)，求函數(shù)y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；
（3）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)y=log f（x2）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 定義域?yàn)镽；

所以ax2+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立；

當(dāng)a=0時(shí)，2x+1＞0不可能對(duì)一切x∈R成立；

所以 即： ；

綜上 a＞1．

（2） ；

令 ；

所以y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；

當(dāng)t≥1時(shí)， ；

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，ymin=1；

當(dāng)t≤0時(shí)， ；

所以 ；

（3）y=x2在[0，+∞）上是增函數(shù)；

若存在非負(fù)實(shí)數(shù)m、n滿足題意，則 ；

即m、n是方程x2=2x的兩非負(fù)實(shí)根，且m＜n；

所以m=0，n=2；

即存在m=0，n=2滿足題意．

【解析】（1）要求g（ax2+2x+1）的定義域，只需ax2+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立，列出不等式求解即可，（2）構(gòu)造函數(shù)，令u = ∈ [ t ， t + 1 ],進(jìn)行換元可得y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；對(duì)t進(jìn)行分類討論得出最小值即可，（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可列出方程組，即m、n是方程x2=2x的兩非負(fù)實(shí)根，且m＜n，所以m=0，n=2.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．