【題目】若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(常數(shù)a、b∈R)是偶函數(shù),且它的值域為(﹣∞,4],則該函數(shù)的解析式f(x)=

【答案】﹣2x2+4
【解析】解:由于f(x)的定義域為R,值域為(﹣∞,4],

可知b≠0,∴f(x)為二次函數(shù),

f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2

∵f(x)為偶函數(shù),

∴其對稱軸為x=0,∴﹣ =0,

∴2a+ab=0,∴a=0或b=﹣2.

若a=0,則f(x)=bx2與值域是(﹣∞,4]矛盾,∴a≠0,

若b=﹣2,又其最大值為4,

=4,∴2a2=4,

∴f(x)=﹣2x2+4.

所以答案是:﹣2x2+4

【考點精析】掌握函數(shù)的值域是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實上,如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù),這個數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實質(zhì)是相同的.

練習冊系列答案
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