【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為非零實數(shù),且對于任意的正整數(shù)n,都有(a1+a2+a3+…+an2=a13+a23+a33+…+an3
(1)寫出數(shù)列{an}的前三項a1 , a2 , a3(請寫出所有可能的結(jié)果);
(2)是否存在滿足條件的無窮數(shù)列{an},使得a2017=﹣2016?若存在,求出這樣的無窮數(shù)列的一個通項公式;若不存在,說明理由;
(3)記an點所有取值構(gòu)成的集合為An , 求集合An中所有元素之和(結(jié)論不要證明).

【答案】
(1)解:當n=1時,a13=a12,由a1≠0得a1=1.

當n=2時,1+a23=(1+a22,由a2≠0得a2=2或a2=﹣1.

當n=3時,1+a23+a33=(1+a2+a32,若a2=2得a3=3或a3=﹣2;若a2=﹣1得a3=1;

綜上討論,滿足條件的數(shù)列有三個:1,2,3或1,2,﹣2或1,﹣1,1


(2)解:令Sn=a1+a2+…+an,則Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*).

從而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13,

兩式相減,結(jié)合an+1≠0,得2Sn=an+12﹣an+1

當n=1時,由(1)知a1=1;

當n≥2時,2an=2(Sn﹣Sn﹣1)=(an+12﹣an+1)﹣(an2﹣an),即(an+1+an)(an+1﹣an﹣1)=0,

所以an+1=﹣an或an+1=an+1.

又a1=1,a2017=﹣2016,所以無窮數(shù)列{an}的前2016項組成首項和公差均為1的等差數(shù)列,從第2016項開始組成首項為﹣2016,公比為﹣1的等比數(shù)列.

an=


(3)解:由(2)可知a1=1,an=﹣an﹣1或an=an﹣1+1(n≥2),

故A1={1},A2={﹣1,2},A3={1,﹣2,3},A4={﹣1,2,﹣3,4},…

∴當n為奇數(shù)時,An的所有元素之和為1+3+5+…+n﹣(2+4+6+…n﹣1)= = ,

當n為偶數(shù)時,An的所有元素之和為2+4+6+…+n﹣(1+3+5+…+n﹣1)= =


【解析】(1)利用數(shù)列遞推式,n分別取1,2,3,代入計算,即可得到結(jié)論;(2)令Sn=a1+a2+…+an,Sn2=a13+a23+…+an3(n∈N*).可得再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{an}的任一項an與它的前一項an﹣1間的遞推關(guān)系;利用a1=1,a2017=﹣2016,所以無窮數(shù)列{an}的前2016項組成首項和公差均為1的等差數(shù)列,從第2016項開始組成首項為﹣2016,公比為﹣1的等比數(shù)列,從而可得數(shù)列的通項.(3)根據(jù)遞推式得出An的所有元素規(guī)律,利用歸納法得出結(jié)論.

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C.橫坐標縮短為原來的 倍,縱坐標不變,再向右平移 個單位長度
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B.
C.
D.

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