Question

直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），與橢圓+=1交于P，Q兩點(diǎn)，已知線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求直線l的方程．

 

Answer 1

即y=（1+）（x﹣1）+1或y=（1﹣）（x﹣1）+1．

【解析】

試題分析：平方差法：易判斷直線存在斜率，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為（，y0），把P、Q坐標(biāo)代入橢圓方程兩式相減，利用斜率公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用y0表示出直線斜率，再用M點(diǎn)坐標(biāo)及中點(diǎn)的坐標(biāo)可表示出斜率，從而得到關(guān)于y0的方程，解出y0后即可求得斜率，用點(diǎn)斜式即可求得直線方程．

【解析】
易知直線l存在斜率，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為（，y0），則x1+x2=1，y1+y2=2y0，

把P、Q坐標(biāo)代入橢圓方程，得①，，

①﹣②得，，即=﹣=﹣，

又=，

所以=﹣，解得，，

則直線斜率k=﹣=1±，

所以直線l方程為：y﹣1=（1+）（x﹣1）或y﹣1=（1﹣）（x﹣1），即y=（1+）（x﹣1）+1或y=（1﹣）（x﹣1）+1．