Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和，則稱為數(shù)列.

（1）若的前項(xiàng)和，試判斷是否是數(shù)列，并說明理由；

（2）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，若該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；

（3）設(shè)無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列，是從中取出部分項(xiàng)按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別為，，求是數(shù)列時(shí)與所滿足的條件，并證明命題“若且，則不是數(shù)列”.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）當(dāng)是數(shù)列時(shí)，與滿足的條件為或，證明見解析.

【解析】

(1)由數(shù)列定義知，僅需驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，恒成立即可；

(2)寫出，的表達(dá)式，則對(duì)滿足的任意都成立，則將此問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，然后據(jù)此去求解的范圍；

(3)根據(jù)數(shù)列是數(shù)列，可以得到，所以需要分，和，去討論，和(2)相似，還是去求解使得的取值范圍，仍然是將其轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，然后在不同的情況下求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可.在證明命題“若且，則不是數(shù)列”時(shí)，考慮使用反證法：先排除掉數(shù)列的項(xiàng)都在數(shù)列中、數(shù)列的項(xiàng)都在數(shù)列中的情況.若數(shù)列至少有一項(xiàng)不在數(shù)列中，且數(shù)列至少有以一項(xiàng)不在數(shù)列中,先去掉其公共項(xiàng)得到數(shù)列，，設(shè)數(shù)列的最大項(xiàng)為，且數(shù)列的最大項(xiàng)比數(shù)列的最大項(xiàng)大，然后根據(jù)數(shù)列是數(shù)列的性質(zhì),得到,從而推出矛盾，進(jìn)而所求證得證.

(1)∵，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

故，

那么當(dāng)時(shí)，，符合題意，

故數(shù)列是數(shù)列；

(2)由題意知，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，，

由數(shù)列是數(shù)列，可知，故公差，

對(duì)滿足的任意都成立，則，解得，

故的取值范圍為；

(3)①若是數(shù)列，則，

若，則，又由對(duì)一切正整數(shù)都成立，可知，即對(duì)一切正整數(shù)都成立，

由，，故，可得；

若，則，又由對(duì)一切正整數(shù)都成立，可知，即對(duì)一切正整數(shù)都成立，

又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)不成立，

故有或，解得，

∴當(dāng)是數(shù)列時(shí)，與滿足的條件為或；

②假設(shè)是數(shù)列，則由①可知，，，且中每一項(xiàng)均為正數(shù)，

若中的每一項(xiàng)都在中，則由這兩數(shù)列是不同數(shù)列，可知；

若中的每一項(xiàng)都在中，同理可得；

若中至少有一項(xiàng)不在中且中至少有一項(xiàng)不在中，

設(shè)，是將，中的公共項(xiàng)去掉之和剩余項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列，它們的所有項(xiàng)和分別為，，

不妨設(shè)，中最大的項(xiàng)在中，設(shè)為，

則，故，故總有與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確.