【題目】如圖,已知點(diǎn)分別是Δ的邊的中點(diǎn),連接.現(xiàn)將沿折疊至Δ的位置,連接.記平面 與平面 的交線為 ,二面角大小為.
(1)證明:
(2)證明:
(3)求平面與平面 所成銳二面角大小.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .
【解析】試題分析:(1)由分別是Δ的邊的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線定理可得,由線面平行的判定定理可得平面,再利用線面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論;(2)由三角形中位線定理以可判定四邊形平行四邊形,進(jìn)而可得四邊形為菱形,于是可得, , ,由線面垂直的判定定理可得平面,從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論;(3)作于交于,可知是的中點(diǎn),折疊后角是二面角的平面角,可證明等腰的底角是平面與平面所成銳二面角的平面角,進(jìn)而可得結(jié)果.
試題解析:(1)證明:因?yàn)?/span>分別是Δ的邊的中點(diǎn),所以經(jīng)過的平面與平面的交線為,
又 , .
(2)證明:記
且
,四邊形
又 , .
, 則得.
又, .
(3) 過,易知是的中點(diǎn),
易知折疊后角是二面角的平面角.
,
則可知.
.易知
等腰的底角角是所成銳二面角的平面角,
易知角 .
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、二面角的求法,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求||;
(2)已知點(diǎn)D是AB上一點(diǎn),滿足=λ,點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn),滿足=λ.
①當(dāng)λ=時(shí),求;
②是否存在非零實(shí)數(shù)λ,使得⊥?若存在,求出的λ值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ x2(a∈R).
(1)若x>0,恒有f(x)≤x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=0,求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣x有兩個極值點(diǎn)x1 , x2 , 求證: + >2ae.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程,根據(jù)下列條件,分別求出的值.
(1)方程兩實(shí)根的積為5;
(2)方程的兩實(shí)根滿足.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn),圓的方程為.
(1)當(dāng)直線的斜率為時(shí),求與圓相交所得的弦長;
(2)設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn),且為的中點(diǎn),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣a+1|(a>0是常數(shù)).
(Ⅰ)證明:f(x)≥1;
(Ⅱ)若f(3)< ,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對于任意的實(shí)數(shù)x,都有f'(x)+2017<4034x,若f(t+1)<f(﹣t)+4034t+2017,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人的各科成績?nèi)鐖D中的莖葉圖所示,則下列說法不正確的是( )
A. 甲、乙兩人的各科平均分相同
B. 甲各科成績的中位數(shù)是83,乙各科成績的中位數(shù)是85
C. 甲各科成績比乙各科成績穩(wěn)定
D. 甲各科成績的眾數(shù)是89,乙各科成績的眾數(shù)為87
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某禮品店要制作一批長方體包裝盒,材料是邊長為的正方形紙板.如圖所示,先在其中相鄰兩個角處各切去一個邊長是的正方形,然后在余下兩個角處各切去一個長、寬分別為、的矩形,再將剩余部分沿圖中的虛線折起,做成一個有蓋的長方體包裝盒.
(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)為多少時(shí),包裝盒的容積最大?最大容積是多少?
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