【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ x2(a∈R).
(1)若x>0,恒有f(x)≤x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=0,求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣x有兩個極值點(diǎn)x1 , x2 , 求證: + >2ae.

【答案】
(1)解:x>0,恒有f(x)≤x成立,

∴xlnx﹣ x2≤x恒成立,

,

設(shè)g(x)=

∴g′(x)= ,

當(dāng)g′(x)>0時,即0<x<e2,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)g′(x)<0時,即x>e2,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

∴g(x)max=g(e2)= =

,

∴a≥ ,

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ ,+∞)


(2)解:當(dāng)a=0時,f(x)=xlnx,x>0,

∴f′(x)=1+lnx,

當(dāng)t> 時,f′(x)>0,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,則f(x)min=f(t)=tlnt,

當(dāng)0<t≤ 時,令f′(x)>0,解得x> ,令f′(x)<0,解得x< ,

∴f(x)在[t, ]上單調(diào)遞減,在[ ,t+2]上單調(diào)遞增,

∴f(x)min=f( )=﹣


(3)解:g′(x)=f(x)′﹣1=lnx﹣ax,函數(shù)g(x)=f(x)﹣x有兩個極值點(diǎn)x1、x2,

即g′(x)=lnx﹣ax=0有兩個不同的實(shí)根,

當(dāng)a≤0時,g′(x)單調(diào)遞增,g′(x)=0不可能有兩個不同的實(shí)根;

當(dāng)a>0時,設(shè)h(x)=lnx﹣ax,

h′(x)= ,

若0<x< 時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

若x> 時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

∴h( )=﹣lna﹣1>0,∴0<a<

不妨設(shè)x2>x1>0,∵g′(x1)=g′(x2)=0,∴l(xiāng)nx1﹣ax1=0,lnx2﹣ax2=0,lnx1﹣lnx2=a(x1﹣x2),

先證 + >2,即證

即證ln =

=t,即證lnt< (t﹣

設(shè)φ(t)=lnt﹣ (t﹣ ),則φ′(t)= = <0,

函數(shù)φ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴φ(t)<φ(1)=0,

+ >2,

又∵ae<1,

+ >2ae


【解析】(1)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可,(2)先求導(dǎo)函數(shù),再分類討論,利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的最值.(3)函數(shù)g(x)=f(x)﹣x有兩個極值點(diǎn)x1、x2 , 即導(dǎo)函數(shù)g′(x)有兩個不同的實(shí)數(shù)根x1、x2 , 對a進(jìn)行分類討論,令 =t,構(gòu)造函數(shù)φ(t),利用函數(shù)φ(t)的單調(diào)性證明不等式.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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B.4
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(Ⅱ)關(guān)于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.

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