如圖,設(shè)F(-c,0)是橢圓的左焦點(diǎn),直線l:x=-與x軸交于P點(diǎn),MN為橢圓的長軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P的直線m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B。
①證明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面積的最大值。

(Ⅰ)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)①詳見解析;②

解析試題分析:(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,只需利用待定系數(shù)法來求,由,知,由,得,將代入,可求出的值,從而得的值,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(Ⅱ)①證明:,只需證明即可,這是直線與二次曲線位置關(guān)系問題,可采用設(shè)而不求的方法,因此當(dāng)的斜率為0時(shí),,滿足題意.當(dāng)的斜率不為0時(shí),可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程得,設(shè)出,有根與系數(shù)關(guān)系,及斜率公式可得,從而得到.故恒有;②求△ABF面積的最大值,由圖可知,由基本不等式,能求出三角形ABF面積的最大值.
試題解析:(Ⅰ)∵|MN|=8, ∴a=4,                                 (1分)
又∵|PM|=2|MF|,∴e=,                     (2分)
∴c=2,b2=a2-c2=12,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                   (3分)
(Ⅱ)①證明:
當(dāng)AB的斜率為0時(shí),顯然∠AFM=∠BFN=0,滿足題意;    (4分)
當(dāng)AB的斜率不為0時(shí),設(shè)AB的方程為x=my-8,
代入橢圓方程整理得(3m2+4)y2-48my+144=0.              (5分)
△=576(m2-4),   yA+yB,    yAyB.

,
而2myAyB-6(yA+yB)=2m·-6·=0,       (7分)
∴kAF+kBF=0,從而∠AFM=∠BFN.
綜合可知:對(duì)于任意的割線PAB,恒有∠AFM=∠BFN.        (8分)
②方法一:
SABF=SPBF-SPAF         (10分)
即SABF,    (12分)
當(dāng)且僅當(dāng),即m=±時(shí)(此時(shí)適合于△>0的條件)取到等號(hào)。
∴△ABF面積的最大值是3.                             (13分)
方法二:

點(diǎn)F到直線AB的距離                 (10分)

,                    (12分)
當(dāng)且僅當(dāng),即m=±時(shí)取等號(hào)。       (13分)
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(1)已知點(diǎn),過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線相交于點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,如果,求點(diǎn)的軌跡;
(2)用正弦定理證明三角形外角平分線定理:如果在中,的外角平分線與邊的延長線相交于點(diǎn),則.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知過點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,直線,分別交橢圓的右準(zhǔn)線兩點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,試求直線的方程;
(3)記,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為,,試問是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線和⊙,過拋物線上一點(diǎn)作兩條直線與⊙相切于、兩點(diǎn),分別交拋物線為E、F兩點(diǎn),圓心點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為

(1)求拋物線的方程;
(2)當(dāng)的角平分線垂直軸時(shí),求直線的斜率;
(3)若直線軸上的截距為,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為的正方形(記為
(Ⅰ)求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是直線軸的交點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線斜率的取值范圍

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已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線交橢圓兩點(diǎn),則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?
若存在其最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓的離心率為,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若線段是橢圓過點(diǎn)的弦,且,求內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中是過拋物線焦點(diǎn)的兩條弦,且其焦點(diǎn),,點(diǎn)軸上一點(diǎn),記,其中為銳角.

(1)求拋物線方程;
(2)如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小,求的大。

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已知點(diǎn),是常數(shù)),且動(dòng)點(diǎn)軸的距離比到點(diǎn)的距離小.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)(i)已知點(diǎn),若曲線上存在不同兩點(diǎn)、滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(ii)當(dāng)時(shí),拋物線上是否存在異于、的點(diǎn),使得經(jīng)過、三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的切線,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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