已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為的正方形(記為)
(Ⅰ)求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線斜率的取值范圍
(Ⅰ) 橢圓的方程為;(Ⅱ)直線斜率的取值范圍為.
解析試題分析:(I)求橢圓的方程,設(shè)出橢圓的方程,根據(jù)正方形的面積為,求出橢圓中參數(shù)的值且判斷出參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出的值,從而得到橢圓的方程.(II)設(shè)出直線的方程,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,利用二次方程的韋達(dá)定理,可得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo),當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)部(包括邊界),得到中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系,即,從而可求的的范圍.
試題解析:(Ⅰ)依題意,設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),焦距為2c,
由題設(shè)條件知,a2="8,b=c," 所以b2=a2=4
故橢圓C的方程為=1 (4分)
(Ⅱ)橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,0),
顯然直線l的斜率k存在,所以直線的方程為y=k(x+4)。
如圖,設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段MN的
中點(diǎn)為G(x0,y0), 由,
得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0 ① (6分)
由D=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0
解得<k< ② (7分)
因?yàn)閤1,x2是方程①的兩根,所以x1+x2=,
于是x0==,y0=k(x0+4)= (8分)
∵x0=≤0,所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊. (9分)
又直線F1B2,F1B1方程分別為y=x+2,y=-x-2
所以點(diǎn)G在正方形Q內(nèi)(包括邊界)的充要條件為
即 (10分)
解得≤k≤,此時(shí)②也成立. (12分)
故直線l斜率的取值范圍是[,]. (13分)
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
拋物線,其準(zhǔn)線方程為,過準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)做直線交拋物線于兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)為中點(diǎn),求直線的方程;
(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),求的面積.
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已知橢圓(a>b>0)的離心率為,右焦點(diǎn)為(,0).
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為k的直線與橢圓交于點(diǎn)A(xl,y1),B(x2,y2),若, 求斜率k是的值.
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已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,且經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn).若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,試求直線的方程.
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已知橢圓,橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.
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如圖,設(shè)F(-c,0)是橢圓的左焦點(diǎn),直線l:x=-與x軸交于P點(diǎn),MN為橢圓的長(zhǎng)軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P的直線m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B。
①證明:∠AFM=∠BFN;
②求△ABF面積的最大值。
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已知拋物線,直線與E交于A、B兩點(diǎn),且,其中O為原點(diǎn).
(1)求拋物線E的方程;
(2)點(diǎn)C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明:為定值.
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已知橢圓的離心率為,其中左焦點(diǎn)(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,過點(diǎn)的兩直線與拋物線相切于A、B兩點(diǎn), AD、BC垂直于直線,垂足分別為D、C.
(1)若,求矩形ABCD面積;
(2)若,求矩形ABCD面積的最大值.
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