Question

（2012•遼寧）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：
將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．
（I）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？

	非體育迷	體育迷	合計(jì)
男
女		10	55
合計(jì)

（II）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）

P（ K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的頻率分布直方圖得出數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，再代入公式計(jì)算得出K方，與3.841比較即可得出結(jié)論；
（II）由題意，用頻率代替概率可得出從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是

1

4

，由于X∽B（3，

1

4

），從而給出分布列，再由公式計(jì)算出期望與方差即可

解答：解：（I）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：

	非體育迷	體育迷	合計(jì)
男	30	15	45
女	45	10	55
合計(jì)	75	25	100

…3分
將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得
K²=

100×(30×10-45×15) 2

75×25×45×55

=

100

33

≈3.03
因?yàn)?.03＜3.841，所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)…6分
（II）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率是0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是

1

4

由題意X∽B（3，

1

4

），從而分布列為

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…10分
所以E（X）=np=3×

1

4

=

3

4

．D（X）=npq=3×

1

4

×

3

4

=

9

16

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的運(yùn)用及期望與方差的求法，頻率分布直方圖的性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有一定的綜合性，難度不大，是高考中的易考題型